法向量

高中的數學  都忘記了  

(1)寫出2X-3=0的法向量
我寫(2,0,0)  解答是(1,0,0)
 
(2)寫出Z=0(xy平面)的法向量
我寫(0,0,0)  解答是(0,0,1)

1.
第一題是對的
法向量關鍵在於他的方向而非在於大小長度
所以您寫的(2,0,0和解答的(1,0.0)是一樣的
都是法向量只不過長短不一樣罷了


2.
您寫的答案就有些問題了
您寫的(0.0.0)代表的是零向量
意思是不代表任何向量

而垂直於XY平面的線條您可以自己畫畫看阿
就是Z軸阿
所以答案就是(0.0.1)了




从理论上说，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。
一般不选择零向量为平面的法向量。

如果已知直线与平面垂直，可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；
如果不存在这样的直线，可用设元法求一个平面的法向量；
步骤如下：
首先设平面的法向量m(x,y,z)，
然后寻找平面内任意两个不平行的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。

由于平面法向量垂直于平面内所有的向量，因此得到
x*x1+y*y1+z*z1=0
和x*x2+y*y2+z*z2=0。

由于上面解法存在三个未知数两个方程
(不能通过增加新的向量和方程求解，
因为其它方程和上述两个方程是等价的)，
无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。
为了得到确定法向量，可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)
或者模等于1的方法(单位法向量)，但是这步并不是必须的。
因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。 　　

平面法向量的具体步骤：（待定系数法） 　　
1、建立恰当的直角坐标系 　　
2、设平面法向量n=（x，y，z） 　　
3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3） 　　
4、根据法向量的定义建立方程组①n*a=0 ②n*b=0 　　
5、解方程组，取其中一组解即可。

由一點和一個法向量決定的平面

對於一點和一個向量 ，平面方程為

這是穿過點並垂直於向量的平面。

通過三點的平面

穿過三點, 和 的平面的方程可以表述為如下行列式:

一點到平面的距離

對於一點和一個平面，從點到平面的距離是：

兩個平面的夾角

兩個相交平面的夾角，稱為兩面角（dihedral angle），可以用平面方程和給出如下：

.








Given the plane

Then the normal vector is

The normal unit vector n is given by:

Therefore, for the plane 5x+2y+3z-1=0,
The normal vector N is

N = [5,2,3]

The magnitude |N| is

|N| = sqrt(5^2 + 2^2 + 3^2)
|N| = 6.1644

The normal unit vector n is therefore approximately:

n = N / |N|
n = [0.8111, 0.3244, 0.4866]

which you can check by measuring the length of n.

Code:

import math

def mag(V):
  return math.sqrt(sum([x*x for x in V]))
def n(V):
  v_m = mag(V)
  return [ vi/v_m for vi in V]

N = [ 5, 2, 3]
print mag(N)
print n(N)
print mag(n(N))

Result:

6.16441400297
 

[0.81110710565381272, 0.32444284226152509, 0.48666426339228763]
 

1.0